Carrazco : DIARIO 1 ( METODO POR CAMBIO DE VARIABLE)

INTEGRAL POR CAMBIO DE VARIABLE

Se realizan introduciendo una nueva variable en la ecuación y utilizando esta elección de cambio para que la integral sea más fácil de resolver.

Un cambio de variable es básicamente invertir la regla de la cadena.

El metodo de integracion por sustitucion o cambio de variable se basa en la derivada de la funcion compuesta.

EJEMPLO :

$\displaystyle \int {f}'(u)\cdot {u}'\, dx=F(u)+\textup{C}$

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

$\displaystyle \int {f}'(u)\cdot {u}'\, dx$

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

$t=u$

$dt={u}'\, dx$

2Se sutituye la diferencial en la integral:

$\displaystyle \int {f}'(t)\cdot {u}' dx=\int {f}'(t)\, dt$

3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

$\displaystyle \int {f}'(t)\, dt=f(t)+\textup{C}$

4 Se vuelve a la variable inical:

$f(t)+\textup{C}=f(u)+\textup{C}$

Ejemplo: Resuelve empleando integración por cambio de variable, la integral $\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}}\, dx$

1 Realizamos el cambio de variable

$\sqrt[3]{1 + 2x} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 1+2x=t^{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\cfrac{t^{3}-1}{2}$

Calculamos la diferencial

$2\, dx=3t^{2}\, dt \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ dx=\cfrac{3t^{2}\, dt}{2}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \cfrac{t^{3}-1}{2} \right )^{2}}{t} \cdot \cfrac{3t^{2}}{2} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{2} \int \left ( \cfrac{t^{6}-2t^{3}+1}{4} \right ) \cdot t \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{8} \int (t^{7}-2t^{4}+t) \, dt \end{array}$

3Resolvemos la nueva integral $\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{3}{8} \int (t^{7}-2t^{4}+t) \, dt & = & \cfrac{3}{8}\left ( \cfrac{t^{8}}{8}-\cfrac{2t^{5}}{5}+\cfrac{t^{2}}{2} \right )+\textup{C} \end{array}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $t=\sqrt[3]{1+2x}$ $\cfrac{3}{8}\left ( \cfrac{t^{8}}{8}-\cfrac{2t^{5}}{5}+\cfrac{t^{2}}{2} \right )+\textup{C} = \cfrac{3}{64}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{8}-\cfrac{3}{20}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{5}+\cfrac{3}{16}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{2}+\textup{C}$ Así la solución buscada es: $\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}} \, dx = \cfrac{3}{64}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{8}-\cfrac{3}{20}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{5}+\cfrac{3}{16}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{2}+\textup{C}$