DIARIO 3

 Calculo de longitud de arco.

Si se tiene una funcion de fdx derivable en un intervalo [a,b] entonces podemos medir la longitud de la grafica de este intervalo, Esta longitud se conoce como la longitud del arco de la curva fdx.

Las integrales están hechas para problemas como este.

$2$2$4$4$\text{-}2$start text, negative, end text, 2$\text{-}4$start text, negative, end text, 4$2$2$4$4$\text{-}2$start text, negative, end text, 2$\text{-}4$start text, negative, end text, 4$�$y$�$x

La mayoría de la gente aprende lo primero sobre integración al tratar de calcular el área bajo una curva. En este contexto, debes imaginar que aproximas esta área con un montón de rectángulos delgados, donde la base de cada uno mide $��$d, x, un cambio muy pequeño en el valor de $�$x, y que, para ese valor de $�$x, su altura es $�(�)$f, left parenthesis, x, right parenthesis. Por lo tanto, el área de cada rectángulo es

$\stackrel{\text{altura}}{\overbrace{�(�)}}\underset{\text{base}}{\underbrace{��}}$start overbrace, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end superscript, start underbrace, d, x, end underbrace, start subscript, start text, b, a, s, e, end text, end subscript

El área completa bajo la curva entonces se expresa con la integral:

${\displaystyle {\int }_{�}^{�}�(�)��}$integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x

Esta integral es una máquina poderosa, como una $\mathrm{\Sigma }$\Sigma en esteroides. Hace algo más que simplemente sumar los valores de $�(�)��$f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x para cierto valor pequeño de $��$d, x; en realidad, considera el límite de dicha suma conforme la pequeña base, $��$d, x, tiende a $0$0, o, en otras palabras, conforme la aproximación de rectángulos se acerca más y más al área verdadera bajo la curva.

Pero podemos usar esta poderosa máquina en muchos otros contextos que nada tienen que ver con áreas bajo curvas. Siempre que tengas la sensación de que quieres sumar un gran número de cosas muy pequeñas, integrar te permitirá hacer el cálculo menos tedioso y más preciso.

$2$2$4$4$\text{-}2$start text, negative, end text, 2$\text{-}4$start text, negative, end text, 4$2$2$4$4$\text{-}2$start text, negative, end text, 2$\text{-}4$start text, negative, end text, 4$�$y$�$x

Por ejemplo, nos da esta sensación cuando aproximamos la longitud de arco con la suma vagamente escrita como:

${\sum }_{\text{todos los peque}\tilde{\text{n}}\text{os segmentos}}\sqrt{(\mathrm{\Delta }�{)}^2+(\mathrm{\Delta }�{)}^2}$sum, start subscript, start text, t, o, d, o, s, space, l, o, s, space, p, e, q, u, e, n, with, \~, on top, o, s, space, s, e, g, m, e, n, t, o, s, end text, end subscript, square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root

Así que la transformamos en una integral:

$\begin{array}{r}{\displaystyle \int \sqrt{(��{)}^2+(��{)}^2}}\end{array}$

Una cosa que esta notación no comunica muy bien es que $��$d, y, el cambio en la altura a través de uno de nuestros pequeños segmentos de recta, depende de $��$d, x, la componente horizontal de ese segmento. Específicamente, ya que la curva está definida por la relación $�={�}^2$y, equals, x, squared, podemos calcular la derivada de cada lado para ver cómo $��$d, y depende de $��$d, x:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle �}& {\displaystyle ={�}^2}\\ {\displaystyle �(�)}& {\displaystyle =�({�}^2)}\\ {\displaystyle ��}& {\displaystyle =2���}\end{array}$

Cuando sustituimos este resultado en nuestra integral, la expresión nos parece un poco más familiar.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int \sqrt{(��{)}^2+(��{)}^2}}& {\displaystyle =\int \sqrt{(��{)}^2+(2���{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\int \sqrt{(1+(2�{)}^2)(��{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\int \sqrt{1+4{�}^2}��}\end{array}$

He sido flojo a propósito para escribir los límites de esta integral, pero ahora que la expresión dentro de ella está en términos de $�$x, sin términos $��$d, y que la enturbien, tiene sentido definir los límites a través de los valores de $�$x, que en este caso van de $-2$minus, 2 a $2$2,

$\begin{array}{r}{\displaystyle {\int }_{-2}^2\sqrt{1+4{�}^2}��}\end{array}$

Esta parece ser una expresión que podemos calcular. Bueno, de hecho, en este caso, resulta ser una integral bastante complicada, pero, hoy por hoy, de ser necesario podemos calcularla con una computadora. El punto es que hemos transformado la idea de aproximar longitudes de curvas con pequeños segmentos de recta, que al principio escribimos vagamente con una notación laxa, en una integral concreta y calculable.

Por ahora, en vez de molestarnos con los detalles de la integral (en el siguiente articulo hay más que suficientes), quiero recalcar algunos puntos con este ejemplo.

Puntos clave

• La expresión central a recordar es $\sqrt{�{�}^2+�{�}^2}$square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root, que representa una pequeña unidad de longitud de arco en términos de $�$x y $�$y.
• La integral de longitud de arco con la que comienzas se ve como algo parecido a:
  ${\displaystyle \int \sqrt{(��{)}^2+(��{)}^2}}$integral, square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root
• Antes de calcular la integral, tuvimos que escribir la diferencial $��$d, y en términos de la diferencial $��$d, x. Para lograrlo, calculamos la derivada de la función que define la curva.
• En general, solo podemos calcular una integral con respecto a una sola diferencial; para encontrar relaciones entre diferenciales, usamos la derivada.
• Tal vez la lección más importante es que podemos usar integrales para muchas más cosas además de para calcular el área bajo una curva.

Videos:

Bibliografia:

https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length